تعرفت سابقاً على ما أسميناه الزوج المرتب و يأخذ الصورة (أ ، ب) حيث أ هو المسقط الأول ، ب المسقط الثاني للزوج المرتب ، ومما يجب عليك مراعاته عند التعامل مع الأزواج المرتبة ما يلي :
( 1 ) الحفاظ على ترتيب المسقطين للزوج المرتب فالزوج (7 ، 3) يختلف تماماً عن الزوج (3 ، 7) .
فمن يسكن العمارة رقم 7 والشقة رقم 3 يختلف عن الشخص الذي يسكن العمارة رقم 3 والشقة رقم 7 .
( 2 ) ميز بين الزوج المرتب (أ ، ب) والمجموعة { أ ، ب } فالفرق بينهما شاسع .
الحاصل الديكارتي
ما يميز حاصل الضرب الديكارتي أو اختصاراً الحاصل الديكارتي هو :
( 1 ) الحاصل الديكارتي هو مجموعة يرمز لها بالرمز س × ص ( 2 ) عناصر مجموعة الحاصل الديكارتي س× ص هي كل الأزواج المرتبة التي مساقطها الأولى تنتمي إلى س ومساقطها الثانية تنتمي إلى ص ( 3 ) إذا كانت المجموعتان س و ص منتهيتين ، يكون حاصل ضربهما الديكارتي منتهياً كذلك كما يكون :
( عدد عناصر س × ص ) = ( عدد عناصر س ) × ( عدد عناصر ص ) مثال : إذا كانت س = { أ ، ب } ؛ ص = { 1 ، 2 ، 3 } فإن س × ص = { (أ ، 1 ) ، ( أ ، 2 ) ،(أ ، 3 ) ،(ب ، 1 ) ،(ب ، 2 ) ،(ب ، 3 ) }
يٌمثًّلٌ الحاصل الديكارتي إما بمخطط سهمي أو بمخطط بياني كما هو في المثال التالي :
كما تعلم العلاقة هي ارتباط بين عناصر مجموعة س ونقول علاقة على س كما يمكنها أن تكون ارتباط بين عناصر مجموعة س وعناصر مجموعة أخرى ص وفي هذه الحالة نقول علاقة من س إلى ص
و عموماً:
ع علاقة على س إذا كانت ع ت س × س
ع علاقة من س إلى ص إذا كانت ع ت س × ص
تمثل العلاقة بمخطط سهمي أو بمخطط بياني كما الحاصل الديكارتي 0 و كمثال على ذلك اعتبر س = { 1 ، 2 ، 3 } ؛ ص = { 8 ، 9 } و العلاقة ع من س إلى ص حيث ع = { (1 ، 8) ، (1 ، 9) ، (2 ، 8) ، (3 ، 9) } ؛ الشكل التالي يوضح المخطط السهمي للعلاقة ع
ملاحظة
إذا كانت ع علاقة على س وكان (أ ، ب) ' ع ، حيث أ ، ب ' س ، نقول إن العنصر أ يرتبط بالعنصر ب بالنسبة للعلاقة ع ويمكن التعبير عن ذلك رمزياً كالتلي : أ ع ب في المثال السابق (1 ، 8) ' ع ، يمكن كتابة ذلك على النحو 1 ع 8
تكون العلاقة ع المعرفة على مجموعة س علاقة إنعكاسية إذا ارتبط كل عنصر أ من س
مع نفسه ، أي إذا كان (أ ، أ) 'ع لكل أ'س
وبعبارة أخرى : إذا كان أ ع أ لكل أ ' س
مثال :
العلاقة ع = { (2 ، 2) ، (2 ، 3) ، (3 ، 3) ، (3 ، 4) ، (4 ، 2) ، (4 ، 4) } انعكاسية على المجموعة س ={2 ، 3 ، 4} و العلاقة ع نفسها تصبح غير انعكاسية على ص= {2 ، 3 ، 4 ، 5} حيث (5 ، 5) ع
خاصة التناظر :
تكون العلاقة ع المعرفة على المجموعة س علاقة متناظرة إذا تحقق الشرط التالي :
لكل أ ، ب ' س إذا كان (أ ، ب) ' ع فإن (ب ، أ) ' ع
ملاحظة هامة : لإثبات أن علاقة ما ليست انعكاسية أو ليست متناظرة نكتفي باعطاء مثال واحد يتناقض مع شرط الانعكاس أو شرط التناظر مثلاً العلاقة ع في المثال السابق ليست متناظرة ذلك لأن (2 ، 3) 'ع لكن (3 ، 2) العلاقة ع
هناك خواص أخرى للعلاقة ستتعرف عليها هذه السنة وهي :
خاصة التعدي
إذا علمت أن سن أحمد يساوي سن علي و سن علي يساوي سن حسام فإنه بإمكانك أن تستنتج بسهولة أن أحمد وحسام لهما السن نفسه ، لقد استخدمت خاصة التعدي للعلاقة "له نفس سن" على المجموعة
س= { أحمد ، عي ، حسام } و ترجمة ما سبق إلى لغة الرياضيات كالتالي :
إذا كان (أحمد ، علي) ' ع و (علي ، حسام) ' ع فإن (أحمد ، حسام) ' ع ، حيث ع هي علاقة "له نفس سن"
هذه الخاصة والتي تسمى خاصة التعدي تتوفر لذى الكثير من العلاقات المألوفة مثل : التساوي ، التوازي بالنسبة لمجموعة مستقيمات ، تطابق المثلثات ...
عموماً : تكون العلاقة ع المعرفة على المجموعة س علاقة متعدية عندما يتحقق الشرط التالي :
إذا كان (أ ، ب) ، (ب ، ج) ' ع فإن (أ ، ج) ' ع و ذلك لكل أ ، ب ، ج ' س
لإثبات أن علاقة ع غير متعدية ، نكتفي بإعطاء مثال مضاد للتعريف
أي إذا كان (أ ، ب) ' ع ، (ب ، ج) ' ع لكن (أ ، ج) ع
لتكن س = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 } و العلاقة ع المعرفة على س حيث
ع = { (1 ، 1) ، (1 ، 3) ، (2 ، 4) ، (4 ، 4) ، .... } إذا علمت أن ع علاقة انعكاسية ومتناظرة في نفس الوقت و أن (1 ، 2) ع ، (3 ، 4) ع
اكمل باقي عناصر ع .
التطبيق من س إلى ص هو علاقة تربط كل عنصر في س بعنصر واحد فقط في ص
تسمى س " المجال " وتسمى ص " المجال المقابل " وتسمى مجموعة صور عناصر المجال " مدى التطبيق " .
ملاحظات
قد يتساوى المجال س مع المجال المقابل ص حينئذ يكون التطبيق من س إلى س .
نستطيع أن نمثل التطبيق بمخطط سهمي أو بمخطط بياني كما هو الحال في العلاقة .
تدريب ( 1 )
أ) أي المخططات السهمية الآتية يمثل تطبيقاً ؟ اذكر السبب
ب) أوجد المجال والمجال المقابل والمدى لكل منها.
الحل
المخطط السهمي في شكل (1) يمثل تطبيقاً من س إلى ص حيث أنه يعين لكل عنصر في س صورة واحدة في ص
مجاله = {4،6،8 } ، ومجاله المقابل = { 1،3،5،7}
ومداه= {3،5،7} .
المخطط السهمي في شكل (2) لا يمثل تطبيقاً ، وذلك لأن العنصر 2 ارتبط بعنصرين هما 4 ، 6
المخطط السهمي في شكل (3) لا يمثل تطبيقاً لأن العنصر 3 لم يرتبط بأي عنصر في ص( لاحظ عدم خروج سهم من العنصر 3 )
أما المخطط السهمي في شكل (4)
فيمثل تطبيقاً مجاله = مجاله المقابل = مداه={1،2،3،4}
تدريب ( 2)
المخططات الآتية تمثل علاقات من س إلى ص أيها لا يمثل تطبيقاً مع ذكر السبب ؟
الحل
المخطط البياني في شكل (1) لا يمثل تطبيقاً لأن العنصر 2 ارتبط بالعنصرين 3 ، 9
المخطط البياني في شكل (2) يمثل تطبيقاً لأن كل عنصر في س ارتبط بعنصر واحد فقط في ص
المخطط في شكل (3) لا يمثل تطبيقا لأن العنصر 3 ارتبط بثلاثة عناصر في ص وهي 3، 5، 7
المخطط في شكل 4 لا يمثل تطبيقاً لأن العنصر 4 لم يرتبط بأي عنصر في ص أي ليس له صورة .
ع 
