حساب التفاضل

نحن لسنا بصدد شرح موضوع التفاضل نظريا وهندسيا لأن شرح ذلك قد يطول ، ثم يشعرك بالملل وتخرج من هذه الصفحة وهذا يشعرنا بالإحباط .

لذا عزيزي الطالب ، سوف أذكر لك قواعد التفاضل (الاشتقاق)لجميع الدوال التي تدرسها ، ثم نعرج بين الفينة والأخرى لبعض التطبيقات عليها :

ملاحظة : ص = د(س)    ،  صَ = تسمى مشتقة الدالة د .

أولا : مشتقة أي دالة على شكل كثيرة حدود :

نشتق كل حد على حده بحيث نضرب في الأس ثم نطرح منه 1  .

مثال : د(س) = س⁵ + 3س² -  7   

صَ  = 5س4 + 6س  - 7 .

ثانيا : مشتقة ضرب دالتين :

= (الأولى) . (مشتقة الثانية)  + (الثانية) . (مشتقة الأولى) .

مثال : ص = (3س + 1) . (س² - 7س) .

صَ = (3س + 1) . (2س - 7) + (س² - 7س) . (3)  .

       = 6س² - 21س + 2س - 7 + 3س² - 21س .

       = 9س² - 40س - 7

ثالثا : مشتقة قسمة دالتين :

= [(المقام) . (مشتقة البسط) - (البسط) . (مشتقة المقام)] ÷ (المقام)²

مثال : ص = س + 3 / 2س .

صَ = (س + 3)² / 6       ( عليك تفصيل الحل) .

رابعا : مشتقة دالة مرفوعة لقوى عدد ن  (        )^ن

 = ن (        )^{ن - 1} (مشتقة ما  بداخل القوس) .

مثال : ص = (س² - 9س + 5)⁷

صَ = 7 (س² - 9س + 5)⁶ . (2س - 9)

خامسا : مشتقة دالة جذرية :

= مشتقة ما تحت الجذر ÷ 2. الدالة الجذرية

سادسا : مشتفة الدالة الأسية

ص = (هـ)^د(س)   ←  صَ = (هـ)^د(س) × دَ(س)          ،           ( هـ = 2.7183  أو  e = 2.7183) .

ص = (عدد)^د(س)   ←  صَ = (عدد)^د(س) × دَ(س) × لو عدد

مثال : ص = (هـ)^{2س - 5}          ←   صَ = (هـ)^{2س - 5}  × 2

           ص = (7)^{5س + 3}   ←   صَ = (7)^{5س + 3}  × 5 × لو7 .

سابعا : مشتقة الدالة اللوغاريتمية

ص = لو د(س)    ←   صَ = دَ(س)  ÷ د(س) .

ملاحظات :

- لو هـ = 1            ،       لو 1 = 0 .

- لوس + لوص = لو (س × ص)

- لوس - لوص = لو (س ÷ ص)

- لو س ^ن = ن لو س

ثامنا : مشتقات الدوال الدائرية

مثال : ص = جتا (س³ - 2س)    ←        صَ = -جا(س³ - 2س) × (3س² - 2) . أكمل ....

قـاعدة التسلسل

لتكن ع = د(ص)   ،   ص = د(س)   فإن :

مثال : إذا كان ص= س² + س   ،  ع = ص²   ، فإن :

          = 2ص × (2س +1)   

         = 2(س² + س) × (2س +1)

          = 4س³ + 6س² + 2س

ملاحظة : الاشتقاق المباشر  : هو أن نكتب ع بدلالة س ثم نفاضل 

في المثال السابق ع = (س² + س)²

الصفحة الرئيسية