أولا

مقتطفات رياضية

أولا : نظريات فيرما :

نظرية فيرما المستعصية :

لا يوجد حل صحيح غير تافه للمعادلة : xn + yn = zn     ,  حيث  n > 2 .

ولقد حاول فيرما أن يقدم حلا لهذا الحدس  ، حيث قدم برهانا لعدم وجود حل غير تافه للمعادلة :

x4 + y4 = z  مستخدما طريقة تعرف اليوم بطريقة فيرما غير منتهية التناقض .

والجدير بالذكر أن فيرما لم يكن رياضيا بل كان محاميا هاويا ، وعلى الرغم من ذلك فقد أغنى فروعا كثيرة في الرياضيات ومن أهمها وضعه لنظرية الأعداد .

وبعد مضي فترة من الزمن استطاع عالم الرياضيات البريطاني أويلر برهنة النظرية ، والذي قدمها بصفحات عديدة كانت محل إعجاب الرياضيين عالميا ، كما أنه حصل على جائزة الملك فيصل العالمية ، ولوكانت جائزة نوبل تعطى في مجال الرياضيات لحصل عليها ، وقد قتل باليمن .

 نظرية فيرما في التحليل :

تعتمد هذه النظرية على كتابة العدد على شكل فرق مربعين .

عندما يكون العدد فرديا فإننا نعمل كما في المثال التالي :

لتحليل العدد 6077 إلى عوامله الأولية ، نعمل الآتي :

                                                              

               (78)2 6077 = 7                   ليس مربع كامل

               (79)2 6077 = 164                   * * *

              (80)2 6077 = 323                    * * *

              (81)2 6077 = 484 = (22)2

             6077 = (81)2 (22)2 = (103) (59)

   n = 2rm  بينما لو كان العدد ن زوجيا فإننا نقسم  2/ن حتى نحصل على الصورة : 

حيث m  عدد فردي ، ثم نجري مثل ماسبق .

ثانيا : قابلية القسمة :

 1) قابلية القسمة على قوى العدد 5 :

 وهو مشابه لقابلية القسمة على قوى العدد 2 لأن 2 5 = 10

 مثال : قرر فيما إذا كان العدد 105117213127625 يقبل القسمة على العدد 125 ؟

 الحل : 125 =  53 ، نختبر آخر ثلاث مراتب ونلاحظ :625 يقبل القسمة على 53  إذن العدد المطلوب يقبل القسمة على 125  

2) قابلية القسمة على العدد 11 :

  n (-1) mod 11 (10)

 مثال : قرر هل العدد 723160823 يقبل القسمة على 11 أم لا ؟

الحل : (3-2) + (8-0) + (6-1) + (3-2) + (7-0) = 22

 وبما أن 22 تقبل القسمة على 11 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 11 .

3) قابلية القسمة على 7 ، 11 ، 13 :

بما أن 7 11 13 = 1001  فإن   n (-1)n mod 1001 (103)

 مثال : هل العدد 59358208 يقبل القسمة على 7 ، 11 ، 13 ؟

 الحل : (208) - (358) + (059) = -91

العدد - 91 يقبل القسمة على 7 ، 13 بينما لايقبل القسمة على 11

إذن العدد المعطى يقبل القسمة على 7 ، 13 ولا يقبل القسمة على 11 .

4) قابلية القسمة على 13 :

يقبل العدد القسمة على 13  إذا كان ناتج ك أدناه يقبل القسمة على 13 .

ك = (4ح + ع - 3م) - (4ح ف + ع ف - 3م ف ) + ( ....) - (.....) + ....

حيث : ح : آحاد ، ع : عشرات ، م : مئات ،ف : ألوف .

مثال : هل العدد : 2734056  يقبل القسمة على 13 ؟

الحل : ك = (46 + 5 - 3 0) - (44 + 3 - 37) + (42) = 39

وبما أن 39 يقبل القسمة على 13 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 13 .

ملحوظة : هذه ليست قاعدة متفق عليها .

ثالثا : الدوال الرياضية في حقل الإعداد المركبة :

1) الدوال التحليلية :

إذا كانت الدالة F  معرفة في جوار النقطة Z1  بحيث  F قابلة للإشتقاق في Z1  وفي جوار لـ Z1  عندئذ تسمى  F  دالة تحليلية في Z1  .

ملحوظة : في التبولوجيا ، جوار نقطة Z1 هي مجموعة على الهيئة  {Z : |Z - Z1| <e  K  e > 0}

 Z1= X1 + i Y1   ,  ويرمز لها بالرمز : (D(Z1, e      , حيث X1 , Y1   أعداد حقيقية .

مثال : F(z) =  2z2 - 3z + i

دالة تحليلية لكل عدد مركب ، لأنها قابلة للاشتقاق عند كل نقطة z  في حقل الاعداد المركبة .

2) الدوال التوافقية (Harmonic Function) :

إذا كانت (U(x,y دالة معرفة على نطاق D بحيث أنها ومشتقاتها الجزئية الأولى والثانية متصلة في D  وكانت تحقق معادلة لابلاس (Laplace  :  Uxx + Uyy = 0) .

عندئذ تسمى (U(x,y دالة توافقية في D .

مثال : الدالة F(z) =z3 = (x+iy)3   دالة توافقية لأن :

F(z) = x3-3xy2 + i(3x2y) - iy3

       = (x3 - 3xy2) + i(3x2y-y3)

       = (U(x,y) + i V(x,y

وكل من الدالتين U , V  دالتين توافقيتين في جميع نقط مجموعة الأعداد المركبة (جميع رتب المشتقات لكل منهما موجودة ومتصلة في D ) .

3) الدالة الأسية :

F(z) = ez = ex + iy

       = (ex (cos y + i sin y           ,   الدالة معرفة لكل Z في الاعداد المركبة .

4) الدوال المئلئية :

SIN(Z) =eiz  -  e-iz  / 2i  ,  COS(Z) =eiz  +  e-iz  / 2 .

(TAN(Z) =SIN(Z)  / COS(Z)  , COT(Z) = 1 / TAN(Z .

(SEC(Z) = 1 / COS(Z)   , CSC(Z) = 1 / SIN(Z .

ملحوظة : المتطابقات المثلثية في المتغير الحقيقي تسري للدوال المثلثية في المتغير المركب .

5) الدوال الزائدية :

SINh(Z) =ez  -  e-z  / 2  ,  COSh(Z) =ez  +  e-z  / 2 .

(TANh(Z) =SINh(Z)  / COSh(Z)  , COTh(Z) = 1 / TANh(Z .

(SECh(Z) = 1 / COSh(Z)   , CSCh(Z) = 1 / SINh(Z .

ملحوظة : المتطابقات للدوال الزائدية الحقيقية تبقى صحيحة للدوال الزائدية المركبة .

6) الدوال اللوغاريتمية :

Log(z) = Log(r)  +  iQ       ,  r = |z| , Q =Arg(z) , z # 0 .

ملحوظة : - (Arg(z  تعني قيم الزاوية Q .

              -  تعارف المتخصصون على أن Log  تدل على Ln

 


الصفحة الرئيسية